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martes, 26 de junio de 2012

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Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Enviar frase Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
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4.3 Aplicaciones

Sistemas mecánicos

Ejemplo
Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante $ t=0$ el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte $ t=2$ el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante $ t=4$ se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces

  1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
  2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante $ t$.
  3. ¿Cuál es la posición del peso en $ t=5$ ?

Solución
Para hallar la constante del resorte



$\displaystyle F=ks \Rightarrow 16 = 2k \Rightarrow k = 8 $



Con lo cual el modelo matemático es



\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x^{\prime \prime} + 8x^{\prime... ... & = & 3 \\ x^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}



Aplicando transformada


$\displaystyle s^2X(s)-sx(0)-x^{\prime}(0) + 8sX(s) - 8x(0) + 16X(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$
$\displaystyle \left( s +4 \right)^2 X(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3s + 3$
$\displaystyle -$ $\displaystyle 4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$
$\displaystyle X(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3s+3}{\left( s + 4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left( s + 4 \right)^2}$
$\displaystyle +$ $\displaystyle \frac{8e^{-4s}}{s\left( s +4 \right)^2}$


El $ -2$ que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que $ x(0)=3$, pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales


$\displaystyle X(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3}{s+4} - \frac{9}{\left(s+4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left(s+4\right)^2}$
$\displaystyle +$ $\displaystyle \frac{8e^{-4s}}{s+4} - \frac{32e^{-4s}}{s \left(s +4 \right)^2}$


De donde obtenemos que


$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3e^{-4t} - 9te^{-4t}-4(t-2)e^{-4(t-2)}H(t-2) + 8e^{-4(t-2)}H(t-4)$
$\displaystyle -$ $\displaystyle 32(t-4)e^{-4(t-4)}H(t-4) -32$


Y así $ x(5)=0.454137$. La gráfica de $ x(t)$ se muestra en la figura 1.12

Figura 1.12
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Enviar frase Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
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4.2 Metodos de Solucion

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

 Definición de la Transformada

Sea f una función definida para eq001 , la transformada de Laplace de f(t) se define como
eq169
cuando tal integral converge

 
Tabla de Transformadas
  1. Obtención
    eq195

  2. Obtención
    eq196

  3. Obtención
    eq197

  4. Obtención Para n entero
    : eq198

  5. Obtención Para eq190
    eq199
    Nota sobre la función Gamma.
  6. Obtención Para s > a
    eq200

  7. Obtención
    eq201

  8. Obtención eq202

  9. Obtención eq203

  10. Obtención eq204
Bibliografia y cibergrafia de apoyo.
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
David Penney
C. Henry Edwards
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Enviar frase Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
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