4.1.3 Solución General y Solución Particular de sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales

En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes.

Ahora vamos a trabajar con sistemas de ecuaciones diferenciales dados de la siguiente forma:

Y eso podemos expresarlo matricialmente:

Que a su vez se puede escribir como:

Nuestro objetivo será resolver dicho sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Empezaremos por estudiar el sistema homogéneo asociado:

Para después hallar una solución particular del sistema, y tener así la solución general:

RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS HOMOGENEOS:
RESOLUCIÓN MEDIANTE DIAGONALIZACIÓN:
Vamos a simplificar el sistema homogéneo asociado de la manera más sencilla posible. Para ello empezamos por suponer que es diagonalizable. Modificaremos el sistema mediante un cambio de base:

De tal manera que:

Si sustituimos en el sistema:

Tenemos entonces:

Con lo que:

Integrando

Representándolo matricialmente:

Y deshaciendo el cambio de base:

Veamos un ejemplo:

Lo normalizamos:

Operamos:

Hallamos la matriz de paso: