...........Calculo Integral: 4.3 Aplicaciones

Sistemas mecánicos

Ejemplo
Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante

el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte

el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante

se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces

Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
Encuentre la posición del peso en cualquier instante .
¿Cuál es la posición del peso en ?

Solución
Para hallar la constante del resorte

$\displaystyle F=ks \Rightarrow 16 = 2k \Rightarrow k = 8$

Con lo cual el modelo matemático es

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x^{\prime \prime} + 8x^{\prime... ... & = & 3 \\ x^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

Aplicando transformada

$\displaystyle s^2X(s)-sx(0)-x^{\prime}(0) + 8sX(s) - 8x(0) + 16X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$
$\displaystyle \left( s +4 \right)^2 X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3s + 3$
	$\displaystyle -$	$\displaystyle 4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$
$\displaystyle X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{3s+3}{\left( s + 4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left( s + 4 \right)^2}$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \frac{8e^{-4s}}{s\left( s +4 \right)^2}$

que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que

, pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales

$\displaystyle X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{3}{s+4} - \frac{9}{\left(s+4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left(s+4\right)^2}$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \frac{8e^{-4s}}{s+4} - \frac{32e^{-4s}}{s \left(s +4 \right)^2}$

De donde obtenemos que

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3e^{-4t} - 9te^{-4t}-4(t-2)e^{-4(t-2)}H(t-2) + 8e^{-4(t-2)}H(t-4)$
	$\displaystyle -$	$\displaystyle 32(t-4)e^{-4(t-4)}H(t-4) -32$